כיצד ניתן לדעת אם פונקציה רציפה באופן אחיד


תשובה 1:

המשכיות בנקודה מסוימת P היא כמו משחק: מישהו מאתגר אותך להישאר בתוך דיוק יעד נתון, אתה מגיב על ידי מציאת אזור קטן סביב P שבתוכו הפונקציה לא מתנועעת מחוץ לאותו דיוק. אם אתה יכול לנצח במשחק הזה ולא משנה כמה חזק היריב שלך עושה את הדיוק, הפונקציה רציפה בנקודה מסוימת זו P.

אם אתה רוצה לבדוק המשכיות בנקודה אחרת Q, המשחק מתחיל מחדש. אתגרים של המתנגדים, אתה מגיב. התגובות שלך במשחק סביב Q עשויות להיות שונות לחלוטין מהתגובות שלך סביב P. אזור שונה, הפונקציה עשויה להתנהג אחרת שם, זה משחק חדש. אם אתה מנצח גם במשחק הזה, הפונקציה רציפה גם ב- Q.

אם אתה יכול לנצח בכל המשחקים האלה סביב כל הנקודות באזור A כלשהו, ​​הפונקציה רציפה לאורך A. אבל הדרך בה אתה מנצח במשחקים האלה יכולה, שוב, להיות שונה עבור נקודות שונות ב- A.

המשכיות אחידה מתהפכת סביב זה: עכשיו אנחנו משחקים משחק הימורים בודד לכל האזור A, בזריקה אחת. היריב שלך מאתגר אותך בדיוק, אתה מגיב על ידי מציאת רדיוס כלשהו שצריך לעבוד סביב כל נקודה P בתוך האזור A. אותו רדיוס חייב לגרום לפונקציה לא לחרוג מהדיוק המותר בשום מקום.


הנה דוגמה פשוטה. קח פונקציה פשוטה כמו y = 3x, והסתכל על הגרף שלה.

האם זה רציף? בטוח. סביב כל נקודה שתיתן לי, אם אני רוצה שהפונקציה לא תתנועע ביותר מ- \ frac {1} {10}, אני פשוט אשאר בתוך \ frac {1} {30} מנקודת ההתחלה. שינוי המשתנה ביותר מ- \ frac {1} {30} מובטח שלא ישנה את הפונקציה ביותר מ- \ frac {1} {10}. כמובן, אותו דבר נכון לגבי \ frac {1} {100} או דיוק קטן יותר.

למעשה, ברגע שאתה אומר לי מה האילוץ שלי, אני פשוט מחלק אותו ל -3 וזה הרדיוס שהולך לעבוד בכל מקום. אותה אסטרטגיה היא לנצח את המשחק בכל מקום שתרצו. אז פונקציה זו רציפה באופן אחיד.

השווה זאת לפונקציה y = \ frac {1} {x}. פונקציה זו מוגדרת על פני כל אזור שאינו כולל x = 0, אז לפשטות ניקח A = (0,10), המרווח הפתוח בין 0 ל -10 בלעדי.

האם הפונקציה רציפה? זה בהחלט נראה ככה. האם זה רציף ב- x = 5? כן, וזה די שטוח שם; אם אתה זקוק לדיוק של \ frac {1} {10} לערכים, אתה יכול פשוט לשמור על המשתנה גם בתוך \ frac {1} {10} סביב x = 5.

מה דעתך על מתי x = \ frac {1} {8}? הפונקציה עדיין רציפה שם, אך המדרון עכשיו תלול מאוד. הערך שם הוא y = f (\ frac {1} {8}) = 8, ואם אני צריך להישאר בתוך \ frac {1} {10} מערך זה, עלי לשמור על המשתנה שלי בין ההדדיות של 8 \ frac {1} {10} ו- 7 \ frac {9} {10}, כלומר בין בערך 0.124 ל- 0.126. אני יכול לעשות את זה, אבל זה אכן טווח צר מאוד: כדי למנוע את הערך העשירי בעשירית, אני צריך להגביל את המשתנה בטווח של אלף. שוב, זה לא מפתיע אם רק מסתכלים על הגרף: הפונקציה תלולה מאוד, ולכן לשינויים זעירים בקלט יש השפעה עצומה על הפלט.

לסיכום, הפונקציה y = \ frac {1} {x} אכן רציפה לאורך כל המרווח (0,10) (למעשה היא רציפה בכל מקום שהיא מוגדרת), אך היא אינה רציפה באופן אחיד באותו מרווח פתוח מכיוון שאתגרים שונים נקודות דורשות תגובות שונות.


כדי לקבוע דברים בצורה רשמית יותר, השווה בין שתי ההגדרות הבאות:

  1. המשכיות: לכל x_0 \ ב- A ולכל \ epsilon> 0, יש \ delta> 0 כזה ש- f (x) נמצא בתוך \ epsilon של f (x_0) בכל פעם ש- x נמצא בתוך \ delta של x_0.
  2. המשכיות אחידה: לכל \ epsilon> 0 יש \ delta> 0 כזה שעבור כל x_0 \ ב- A, f (x) נמצא בתוך \ epsilon של f (x_0) בכל פעם ש x נמצא בתוך \ delta של x_0.

בהגדרה הראשונה, יש לספק את המספר \ delta בהינתן x_0 ו- \ epsilon. במילים אחרות, זה עשוי להיות תלוי בשניהם. כמובן שאתה צריך \ דלתא קטן יותר \ epsilon קטן יותר, אבל אתה יכול גם לספק \ דלתא שונה במיקומים שונים x_0. בהגדרה השנייה, כבר אין לך את המותרות ההיא: \ delta חייבת להיות תלויה רק ​​ב- \ epsilon ועליה לעבוד בכל מקום, לכל x_0. זה ההבדל בין המשכיות להמשכיות אחידה.


תשובה 2:

עבור הדיוט נכון? אז אשתמש במילים ספורות עם מונחים והגדרות פחות מתמטיות.

לצורך המשכיות או המשכיות אחידה, התבוננות בגרף הפונקציה היא הדרך הפשוטה ביותר.

ניתן לבדוק רציף או לא פשוט להסתכל על שבירות העקומה בנקודות, אין צורך בהסבר.

המשכיות של UNIFORM אינה כה פשוטה. "אחיד" רציף, הכותרת אומרת משהו נכון? אוקיי, אנו מחפשים המשכיות אחידה בעקומה רציפה בלבד, אם אתה רואה ירידה פתאומית או עלייה בעקומה אז ההמשכיות אינה אחידה (תלילות פתאומית בעקומות הן כל כך מושכות, נכון?).

זה ההבדל. עלייה או ירידה פתאומית בעקומות אינן מקובלות ברציפות אחידה, ואילו אם אין שבירה בעקומה זו עם עלייה או ירידה פתאומית, הרי שהעקומה פשוט "רציפה". העלאה או ירידה פתאומית זו מפריעה לאחידות העקומות הנעות ברציפות. כפי שאתה רואה בעקומה של f (x) = \ frac {1} {x} בתחום (0,1). כשציר x מתקרב 0 מימין העקומה עולה באופן אקספוננציאלי, וזה רחוק מחוץ לאחידות. האם יש לנו שבר? לא. אז זה רציף אבל לא רציף באופן אחיד

כל הקימורים הרציפים באופן אחיד הם רצופים, אך הפוך אינו נכון.


תשובה 3:

המשכיות של פונקציה היא רכוש מקומי בלבד, ואילו המשכיות אחידה היא נכס גלובלי החל על כל המרחב. פונקציה רציפה באופן אחיד היא רציפה, אך ההיפך אינו חל.

במרווח הפתוח (0,1) הפונקציות f (x) = x ו- g (x) = 1 / x שתיהן רציפות, אך g אינן רציפות באופן אחיד.

מתוך ויקיפדיה:

ב

מָתֵימָטִיקָה

, א

פוּנקצִיָה

f

הוא

באופן רציף באופן אחיד

אם, בערך, אפשר להבטיח זאת

f

(

איקס

) ו

f

(

y

) להיות קרובים זה לזה ככל העולה על רוחנו על ידי דרישה לכך בלבד

איקס

ו

y

קרובים זה לזה מספיק; שלא כמו המשכיות רגילה, המרחק המרבי בין

איקס

ו

y

לא יכול לסמוך

איקס

ו

y

עצמם. למשל, כל אחד מהם

איזומטריה

(מפה לשמירת מרחק) בין

רווחים מטריים

הוא רציף באופן אחיד. כל פונקציה רציפה באופן אחיד בין רווחים מטריים היא

רָצִיף

. המשכיות אחידה, בניגוד לרציפות, נשענת על היכולת להשוות את הגדלים של

שכונות

של נקודות מובחנות של מרחב נתון. בשרירותית

מרחב טופולוגי

, השוואה בין גדלי השכונות עשויה שלא להיות אפשרית.


תשובה 4:

לא, הם לא אותו דבר.

באופן כללי, \ delta עבור המשכיות תלוי גם ב- \ epsilon וגם ב- x. לדוגמה, אם f (x) = x ^ 2, אתה צריך \ דלתא קטן בהרבה עבור \ epsilon נתון כאשר x = 10 מאשר כאשר x = 0.

אך אם פונקציה רציפה באופן אחיד, \ delta תלוי רק ב- \ epsilon, ולא ב- x. לחלופין, ליתר דיוק, אנו יכולים למצוא \ דלתא אחת לכל \ אפסון שעובדת עבור כל x בתחום. (אולי נוכל למצוא \ דלתות קטנות יותר עבור Xים מסוימים, אבל זה לא משנה.)


תשובה 5:

הנה ההסבר הפשוט:


תשובה 6:

אני מאמין שהקישור הבא למידע המתמטי הרלוונטי מוויקיפדיה עונה על שאלתך לגבי ההבדל בין פונקציות רציפות לעומת רציפות אחידות.

http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_continuity

תשובה 7:

שניהם זהים.